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Lie groups, Lie algebras and representations
La théorie des groupes et de leurs représentations est un sujet central et transverse qui étudie les symétries telles qu’elles apparaissent en mathématiques et dans les sciences en général, notamment en physique.
La théorie de Lie (algèbres et groupes de Lie) en particulier a été un thème central en mathématiques depuis ses origines au 19 ème siècle, avec des applications dans diverses branches des mathématiques et de la physique.
Le but de ce cours est de donner une introduction, avec un point de vue mathématique, aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie. Le cours porte notamment sur les groupes et algèbres de Lie (de dimension finie) et leurs représentations, et traite de nombreux exemples.
Syllabus
1. Groupes de Lie.
- Courte introduction à la géométrie différentielle (variétés, fibrés, revêtements,...)
- Groupes de Lie et représentations
- L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie, application exponentielle
- Théorèmes de Lie
- Groupes compacts
- Exemples classiques de groupes de Lie
2. Algèbres de Lie de dimension finie.
- Algèbres de Lie générales, représentations
- Exemples fondamentaux (algèbres de Lie classiques, Heisenberg, Virasoro,...)
- Algèbres de Lie nilpotentes, résolubles, semi-simples
- Catégories de représentations, représentations irréductibles
- Complète réductibilité
- Structure des algèbres de Lie semi-simples
- Systèmes de racines, groupe de Weyl
3. Représentations des algèbres de Lie de dimension finie.
- Le cas de sl(2,C)
- Modules de plus haut poids, modules de Verma
- Paramétrisation des représentations simples. Séries de Jordan-Holder. Multiplicités
- Représentations de dimension finie. Structure tensorielle, caractères
- Formule des caractères de Weyl
Prerequisites
Il n’y a pas vraiment de prérequis, si ce n’est l’algèbre linéaire (y compris décomposition de Jordan) et générale standard de premier cycle. Une familiarité avec quelques concepts de géométrie différentielle peut être utile.
Evaluation
Examen + devoir noté à mi-parcours
Bibliographie
(pour commencer, le Fulton-Harris est très bien) :
- V. Chari and A. Pressley, A guide to quantum groups, Cambridge University Press.
- P. Etingof, I. Frenkel and A. Kirillov, Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations, Mathematical Surveys and Monographs, 58. American Mathematical Society.
- W. Fulton and J. Harris, Representation Theory : a first course, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer-Verlag.
- J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag.
- V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge University Press.
- Y. Kosmann-Schwarzbach Groupes et symétries : Groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations, Editions de l’école polytechnique
- J-P. Serre, Lie algebras and Lie groups, 1964 lectures given at Harvard University,
Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006) - S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press.
- J-B. Zuber, Invariances en physique et théorie des groupes,
https://www.lpthe.jussieu.fr/~zuber/Cours/InvariancesTheorieGroupes-2014.pdf