Numerical methods for differential equations in physics

Avec le développement de l’informatique, il est devenu possible de résoudre ces équations et ainsi d’effectuer des expériences virtuelles avec des conditions physiques et géométriques parfaites ou même irréalisables autrement (par exemple des surfaces parfaitement planes, une force gravitationnelle absente ou radiale, aucun bruit). De plus, toutes les données sont accessibles, tels que des champs complets de vitesse ou de température, ainsi que toutes les forces.

Pour résoudre les équations différentielles numériquement, il faut les transformer en programmes informatiques utilisant les algorithmes de l’analyse numérique. Les techniques les plus immédiates s’avèrent inutilisables : intégrer en utilisant une série de Taylor mène à une croissance explosive ; résoudre un système linéaire n’exige pas d’inverser une matrice. A part les avantages déjà importants de suivre l’évolution temportelle, il s’ajoute la possibilité de traiter les équations autrement : il est possible de calculer des états stationnaires instables, des vecteurs propres ou des valeurs singulières. 

Nous présenterons les méthodes diverses utilisées pour étudier les équations physiques, utilisant comme exemples les équations de Navier-Stokes et de Swift-Hohenberg.